アッカーは音楽家になる前、ブリストルのウィルズ・タバコ工場で週1ポンド4シリングで働き、ボクシングも少しかじっていた。彼は幼なじみのジーンと結婚した。その後、1948年にクラリネットを始め、運河地帯に駐屯していた王立工兵隊に所属中、軍のクラリネットを借りてレコードのコピーを始めた。彼は勤務中に寝ていたため営倉送りとなり、退屈を紛らわすために練習に励んだ。除隊後、アッカーはブリストルで初のバンドを結成したが、すぐにロンドンに移り、ケン・コリアー・バンドで演奏した。しかし、彼はロンドンを嫌い、ブリストルに戻ってブリストル・パラマウント・ジャズ・バンドを結成した。1951年、バンドはロンドンで演奏し、アッカーとジーンはプレイスコウの工場の上の住居で生き延びなければならなかった。その後、バンドは初の大きなチャンスを掴んだ。デュッセルドルフのビアホールで6週間ぶっ通しで演奏したのだ。これによりバンドは真に鍛えられ、二度と後ろを振り返ることはなかった。「Summer Set」や「Creole Jazz」といったヒットジャズレコードが続き、1961年には「Stranger On The Shore」をレコーディングした。これは国際的なヒットとなり、UKとUSで同時にNo.1になった史上初のレコードとなった（ただし、UKチャートには様々なものがあったため、若干の論争がある）。2002年、UK公式チャート開始50周年を記念する年、アッカーは「Stranger On The Shore」がチャート開始以来58位に選ばれたことに大喜びした。彼は80代半ばまで演奏活動を続けたが、大好きな趣味の一つである絵画に専念するため、ライブ出演回数を減らした。